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Mehr als rasantes Wachstum

Was genau ist ein Exponential? Ein Exkurs von Geoffrey West

Sie ist zum Signum der Pandemie geworden: die steil ansteigende Kurve der Zahl der Neuinfektionen. Die exponentielle Kurve. Exponentielles Wachstum ist neben fundamentaler Ungewissheit ein Kennzeichen der Coronapandemie. Doch was ist exponentielles Wachstum genau? Das erläutert der Physiker und Komplexitätswissenschaftler Geoffrey West in einem Exkurs in seinem Buch Scale.

Die Coronakrise ist ein Lehrstück in Sachen exponentielles Wachstum. Zahllose Grafiken veranschaulichen die rasante Verbreitung des Virus in der akuten Phase und vermitteln einen Eindruck davon, was exponentielles Wachstum bedeutet. Doch exponentielles Wachstum ist mehr, als solche Grafiken auszusagen vermögen, zumal die Darstellungsform wechselt. Was genau sich hinter exponentiellem Wachstum verbirgt, erläutert Geoffrey West in seinem Buch Scale. Als es um die Expansion des Universums seit dem Urknall und um die großen sozioökonomischen Veränderungen auf dem Planeten seit dem Beginn der industriellen Revolution ging, habe er von "exponentiellem Wachstum" und "exponentieller Expansion" gesprochen und sogar ungeniert den Begriff "Exponential" verwendet, schreibt West, "als könnte ich voraussetzen, dass die Bedeutung dieser Begriffe bekannt sei". Dessen ist er sich aber keineswegs sicher und fügt einen Exkurs ein, um sie zu erklären. Was gelingt. Ein Buchauszug - wir übernehmen den Text mit freundlicher Genehmigung des C.H.Beck Verlags. 


Vielleicht unterschätze ich die breite Öffentlichkeit, aber es kommt nicht selten vor, dass ich gebildete Journalisten, Mediengurus, Politiker und Unternehmensführer das Wort "exponentiell" in einer Weise gebrauchen höre, die erkennen lässt, dass diese Leute die genaue Bedeutung des Begriffs nicht kennen oder sich seiner Implikationen nicht bewusst sind. Und ich habe oft das Gefühl, dass wir es deshalb so schwer haben, sie von der dringenden Notwendigkeit zu überzeugen, sorgfältig und strategisch über die Fragen langfristiger Nachhaltigkeit nachzudenken. Daher möchte ich, auf die Gefahr hin, pedantisch zu erscheinen, einen kurzen Exkurs über die Bedeutung und die Implikationen des Begriffes anbieten, der eine so entscheidende Rolle spielt.


Exponentielles Wachstum beginnt langsam


Wie "Impuls" und "Quant", so ist auch "Exponential" einer jener technischen Termini, die in einem wissenschaftlichen Kontext geprägt wurden und darin eine genau definierte Bedeutung haben, die aber auch in den allgemeinen Sprachgebrauch eingegangen sind, weil in ihnen eine Vorstellung mitschwingt, die in unserer Alltagssprache nicht adäquat bezeichnet ist. In der Umgangssprache wird mit dem Ausdruck "exponentielles Wachstum" allgemein die Vorstellung verbunden, dass etwas sehr schnell wachse. In meinem Wörterbuch zum Beispiel ist "rasantes Wachstum" als erste Bedeutung des Wortes "Exponential" angegeben. In Wirklichkeit beginnt exponentielles Wachstum normalerweise eher langsam, bevor es allmählich in das übergeht, was man als "rasantes Wachstum" bezeichnen könnte. Exponentielles Wachstum ist aber viel mehr als das. 

Eine exponentiell wachsende Bevölkerung ist mathematisch als eine Bevölkerung definiert, deren Wachstumsrate (zum Beispiel pro Minute, Tag oder Jahr) zu der Größe der schon vorhandenen Bevölkerung proportional ist. Das heißt, dass die Wachstumsrate selbst umso schneller wächst, je größer die Bevölkerung ist. Verdoppelt sich also eine exponentiell wachsende Bevölkerung, so verdoppelt sich auch ihre Wachstumsrate, was bedeutet, dass diese, je größer sie wird, immer schneller wächst, sie sich also selbst verstärkt und Eigendynamik gewinnt. Wenn sie nicht gebremst wird, sind sowohl die Bevölkerung als auch ihre Wachstumsrate irgendwann unendlich groß. 

Sie kennen diese Art des Wachstums aus dem täglichen Leben, obgleich sie meist nicht als exponentielles Wachstum bezeichnet wird; denn statt zu sagen, die Rate des Wachstums pro Zeiteinheit ist dem Vorhandenen proportional, kann man auch sagen, die relative oder prozentuale Wachstumsrate ist konstant, was vergleichsweise harmlos klingt. Dies ist zum Beispiel die Formulierung für den klassischen Zinseszins, für das, was die Banken als Kapitalverzinsung Ihrer Investments errechnen. Wenn Ihre Bank Ihnen also mitteilt, dass Ihre Ersparnisse sich mit 5 Prozent verzinsen, oder wenn Wirtschaftsminister oder Firmenchefs ankündigen, ihr Land beziehungsweise ihre Organisation werde im laufenden Jahr um 5 Prozent wachsen, dann ist damit jeweils implizit gesagt, dass diese Größen exponentiell wachsen und dass die absolute Wachstumsrate im nächsten Jahr um 5 Prozent höher sein wird als in diesem. Wenn sich nichts ändert, wird also jeder immer reicher, und zwar in wachsendem Tempo. Selbst wenn der Wirtschaftsminister mit finsterer Miene bekanntgibt, dass die Wirtschaft in diesem Quartal nur um 1,5 Prozent gewachsen ist, und wenn er dafür eine Menge negativer Kommentare mit dem Tenor erntet, die Wirtschaft "stagniere", dann ist die Wirtschaft immer noch exponentiell gewachsen und wird, wenn sich nichts ändert, weiterhin immer schneller wachsen, wenn auch in langsamerem Tempo. Kein Wunder, dass wir süchtig sind nach der unbegrenzt wirksamen steroid- artigen Droge des exponentiellen Wachstums. Es ist ein echter Rausch, der auf den großen Erfolg unserer wirtschaftlichen Dynamik zurückzuführen ist. 

Das Wachstum eines Systems, etwa einer Volkswirtschaft oder einer Bevölkerung, wird oft auch als Verdopplungszeit gemessen, womit, wie der Terminus verrät, der Zeitraum gemeint ist, in dem sich die Größe des Systems verdoppelt. Exponentielles Wachstum hat eine konstante Verdopplungszeit, was ebenfalls eher harmlos klingt, bis man erkennt, dass sich eine Bevölkerung zum Beispiel genauso schnell von 20 Millionen auf 40 Millionen verdoppeln würde wie von 10 000 auf 20 000, dass der gigantische Zuwachs von 20 Millionen Menschen also genauso lange dauern würde wie der bescheidene Zuwachs von 10 000 Menschen. Erstaunlicherweise ist die Verdopplungszeit der Weltbevölkerung, wie bereits erwähnt, jahrhundertelang immer kürzer geworden: Es dauerte 300 Jahre, nämlich von 1500 bis 1800, bis sich die Bevölkerung von 500 Millionen auf eine Milliarde verdoppelt hatte, aber nur 120 Jahre, bis sie sich auf 2 Milliarden, und dann nur noch 45 Jahre, bis sie sich auf 4 Milliarden verdoppelt hatte. Wir sind also bis vor relativ kurzer Zeit in einem sich beschleunigenden, mehr als nur exponentiellen Tempo gewachsen! In den letzten 50 Jahren hat sich dieses Tempo nicht mehr so stark beschleunigt, ist aber immer noch exponentiell.


Tückisches Schachbrett


Statt weitere Definitionen und trockene Statistiken zu präsentieren, möchte ich das Ausgeführte anhand einer Geschichte und einer Rätselfrage veranschaulichen. Das Faszinierende, aber auch Tückische an exponentiellem Wachstum ist seit langer Zeit bekannt, vor allem im Mittleren und Fernen Osten, wo der Zinseszins seit der Antike gebräuchlich ist. Eines der großen epischen Gedichte der Weltliteratur, das vor mehr als tausend Jahren entstandene Buch der Könige, zeugt davon. Es ist das längste Epos überhaupt; sein Verfasser, der berühmte persische Dichter Firdousi, benötigte nicht weniger als dreißig Jahre, um es zu schreiben. Zur Entstehungszeit des Werkes wurde das in Indien erfundene Schachspiel in Persien eingeführt. Als es populär wurde, setzte Firdousi ihm ein Denkmal, indem er anhand des Schachbretts die Implikationen exponentiellen Wachstums illustrierte. Hier eine Version der Geschichte: 

Als der König das Spiel zum ersten Mal sah, war er davon so angetan, dass er den Erfinder aufforderte, ihm zu sagen, was er als Lohn begehre. Der Mann, der eine Schwäche für Mathematik hatte, bat den König um einen scheinbar äußerst bescheidenen Lohn, nämlich um Reiskörner. Doch sollten diese auf folgende Weise angeordnet werden: 1 Korn auf dem ersten Feld des Schachbretts, 2 Körner auf dem zweiten, 4 auf dem dritten, 8 auf dem vierten, 16 auf dem fünften und so weiter - auf jedem folgenden Feld die doppelte Menge. Obwohl der König von dieser scheinbar lumpigen Reaktion auf sein großzügiges Angebot verstimmt war, akzeptierte er die Bitte des Erfinders und befahl dem Kämmerer, die Zahl der Reiskörner zu ermitteln, die sich aus der vom Erfinder angegebenen Additionsregel ergäbe. Als der Kämmerer damit am Ende der Woche noch nicht fertig war, stellte der König ihn zur Rede und fragte ihn nach dem Grund für seine Langsamkeit. Statt diese Frage zu beantworten, sagte der Kämmerer dem König, dass die Erfüllung der Bitte des Erfinders ihn, den König, mehr kosten würde als die Summe aller Vermögenswerte seines Reiches. 

Untersuchen wir, warum die Antwort des Kämmerers richtig ist. Die Rechenaufgabe ist ziemlich einfach. Sie wissen, dass ein Schachbrett aus 8 × 8 = 64 Feldern besteht. Die Additionsregel für die Bestimmung der Größe des Lohns lautete, dass auf den Feldern des Schachbretts liegen sollten: 1 Korn auf dem ersten, 2 Körner auf dem zweiten, 4 auf dem dritten und so weiter. Auf dem achten Feld etwa (dem Feld rechts oben) sollten demnach 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128 Körner liegen. Und wenn wir das vierundsechzigste und letzte Feld erreicht haben (das Feld rechts unten), dann lässt sich die Zahl der Reiskörner dadurch errechnen, dass 63-mal Zweien miteinander multipliziert werden: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 … - dies 63-mal! Das aber ergibt eine astronomische Zahl: Wenn Sie sie vom Rechenprogramm Ihres Laptops oder Ihres Smartphones berechnen lassen, werden Sie bestätigen können, dass sie 9 223 372 036 854 775 808 lautet, was etwas weniger ist als 10 Millionen Billionen! So viele Reiskörner - mehr als die weltweite Jahresproduktion! - würden einen Berg ergeben, der höher wäre als der Mount Everest. 

Das veranschaulicht die phantastische Macht und ultimative Absurdität ungebremsten exponentiellen Wachstums. Dieses Wachstum beginnt zwar erstaunlich langsam, gerät aber, einmal entfesselt, völlig außer Kontrolle, so dass das jeweils Erreichte alles Gewesene quantitativ übertrifft. So wäre die Zahl der auf jedem beliebigen Feld liegenden Reiskörner in der obigen Geschichte größer als die Summe aller Reiskörner auf den Feldern davor. Und eine exponentiell wachsende Bevölkerung ist zu jedem Zeitpunkt größer als die Summe aller Individuen, die davor gelebt haben. Daher leben heute mehr Menschen auf dem Planeten, als seit Beginn der exponentiellen Explosion auf ihm gelebt haben. Eine Bevölkerung, die möglicherweise nicht mehr ernährt werden kann oder scheinbar "unendlich" groß ist, tritt im System also unerwartet auf; die Lösung der angekündigten Rätselfrage wird dies schlagend demonstrieren. Es ist aber so, dass es in natürlichen Gemeinschaften, die durch ein Stadium exponentieller Expansion gehen, etwa in Wäldern und Bakterienkolonien, meistens Rückkopplungsmechanismen gibt, die dem Wachstum ökologische, oft in antagonistischen Kräften und umweltlichen Ressourcenbeschränkungen bestehende Grenzen setzen.


Rasantes Wachstum ...


Damit komme ich zu meiner Rätselfrage. Sie könnte dem Talmud entnommen sein und hat die Form eines Gedankenexperiments, das vom realen Wachstumsprozess von Bakterienkolonien inspiriert ist. Angenommen, wir wollen ein Muster eines Antibiotikums wie Penicillin herstellen und fangen mit einem einzigen Exemplar eines Bakteriums an, von dem wir wissen, dass es sich, sagen wir, in jeder Minute in zwei identische Tochterbakterien aufspaltet. Nach einer Minute haben wir also 2 Bakterien, die sich jeweils nach einer weiteren Minute in 2 neue Bakterien aufgespalten haben, so dass es jetzt 4 sind. Eine weitere Minute später haben wir 8, dann 16 und so weiter - mit jeder folgenden Minute verdoppelt sich die Zahl. Die Analogie zum exponentiellen Wachstum der Reiskörner auf dem Schachbrett liegt auf der Hand. Angenommen, wir starten den Wachstumsprozess um 8 Uhr morgens und haben die Nährstoffmenge so begrenzt, dass das Reagenzglas um 12 Uhr mittags mit Bakterien gefüllt ist. Hier nun die Frage: Zu welchem Zeitpunkt zwischen 8 und 12 Uhr ist das Reagenzglas halb voll? 

Leute, die die Frage falsch beantworten, geben meistens einen Zeitpunkt an, der vom Ende des Prozesses aus gesehen nicht allzu weit diesseits der Mitte zwischen 8 und 12 Uhr liegt, zum Beispiel 10.30 oder 11.15 Uhr. Die richtige Antwort aber lautet, für manche überraschend, 11.59 Uhr, eine Minute vor Mittag. Ich bin sicher, Sie haben’s gewusst: Da die Bakterienpopulation sich jede Minute verdoppelt, kann sie die Hälfte ihrer finalen Größe erst eine Minute vor dem Ende des Prozesses um 12 Uhr erreicht haben, das heißt um 11.59 Uhr. 

Ich möchte das kleine Gedankenexperiment einen Schritt weitertreiben, indem ich - paradox - zurückgehe: 1 Minute vor Mittag ist das Reagenzglas halb voll, 2 Minuten vor Mittag ist es zu einem Viertel voll (½ × ½), 3 Minuten vor Mittag ist es zu einem Achtel voll (½ × ½ × ½) und so weiter. Um 11.55 Uhr, nur 5 Minuten vor 12, ist das Reagenzglas erst zu einem Zweiunddreißigstel voll (½ × ½ × ½ × ½ × ½), das heißt zu knapp 3 Prozent, so dass die Bakterien kaum zu sehen sind. Wenn wir weiter zurückgehen, ergibt eine Berechnung, dass das Reagenzglas um 11.50 Uhr, also nur 10 Minuten vor dem Ende des Prozesses, erst zu 0,1 Prozent voll ist und daher aussieht, als wäre es leer. Fast über die gesamte Lebensdauer dieses kleinen Universums scheint das Reagenzglas also leer zu sein, fast nichts scheint in ihm zu geschehen, obwohl die Kolonie die ganze Zeit exponentiell wächst. Erst in den letzten paar Minuten, die einem winzigen Bruchteil der Lebensdauer dieses bakteriellen Universums entsprechen, und kurz bevor es nichtsahnend endet, geht in dem Reagenzglas sichtbar etwas vor. 

Sehen wir uns das jetzt aus der Perspektive der in der Kolonie lebenden Bakterien an. Nach 100 Generationen, also 100 Minuten, die ungefähr 2000 Jahren menschlicher Zeit entsprechen (wenn wir 20 Jahre für jede menschliche Generation ansetzen), ist das Leben noch wunderbar. Nahrung ist im Überfluss vorhanden, und die Gemeinschaft expandiert und besiedelt weiter ihr kleines Universum. Auch nach 200 Generationen scheint noch alles famos zu laufen. Ja, selbst nach 235 Generationen sieht es noch ziemlich gut aus, obwohl sich inzwischen einige Bakterien der "Grenzen" ihres Universums bewusst geworden sind und erkannt haben, dass die Nahrung knapp zu werden beginnt. Wenig später, nach 239 Verdopplungen - die Population hat die absurd hohe Zahl von 10 hoch 71 erreicht (10 hoch 71 ist eine Billion, die eine Million Mal mit sich selbst multipliziert wurde) - , ist die Lage schon für jedes Bakterium schlecht, und nur eine Generation danach ist alles aus!


... und seine Grenzen: Stagnation und Zusammenbruch


Auch wenn die Details nicht stimmen - bakterielle Verdopplungszeiten liegen meistens bei etwa dreißig Minuten, nicht bei einer, vor allem aber habe ich von der Entstehung giftiger Abfallprodukte und von der daraus resultierenden zellularen Sterblichkeit abgesehen - , das Entscheidende, die Botschaft, ist richtig, die Implikationen schrankenlosen exponentiellen Wachstums sind korrekt dargestellt. Die Entwicklung gibt die Wachstumskurve und den Lebenszyklus echter Bakterienkolonien wieder, so wie sie in jeder Einführung in die Ökologie zu finden sind: rasantes Wachstum, gefolgt von Stagnation und Zusammenbruch. Wichtig ist, dass das System geschlossen ist, das heißt, dass die Ressourcen, die der Kolonie zur Verfügung stehen, begrenzt sind, wie in dem Reagenzglas des Gedankenexperiments. Zugespitzt könnte man sagen, dies entspreche der Geschlossenheit der Situation, die wir für uns selbst auf der Erde mit unserer fast vollständigen Abhängigkeit von fossilen Brennstoffen geschaffen haben; würden wir dagegen von außen, von der Sonne, mit Energie versorgt, so wäre die Situation offen. Unser exponentielles Wachstum ist zwar ein bemerkenswertes Ergebnis der außerordentlichen Leistungen, die wir als Spezies erbracht haben, aber darin eingebaut sind die Ursachen für unseren möglichen Untergang und die Vorzeichen für große Probleme, die gleich um die Ecke auf uns warten.


Vision globaler Nachhaltigkeit


Ich habe die ebenso provokante wie lehrreiche Geschichte vom Schicksal des Bakterienuniversums aus zwei Gründen erzählt: um die Bedeutung und die Implikationen unbegrenzten exponentiellen Wachstums zu illustrieren und um die Frage einer globalen Nachhaltigkeit aufzuwerfen. Denn eine der großen Herausforderungen, denen wir uns im 21. Jahrhundert stellen müssen, ist die Frage, ob die von Menschen in den letzten fünftausend Jahren geschaffenen Sozialsysteme weiterhin mit der mehrere Milliarden Jahre alten biologischen Welt koexistieren können, aus der sie hervorgegangen sind. 

 


Zitate


"In der Umgangssprache wird mit dem Ausdruck ‚exponentielles Wachstum‘ allgemein die Vorstellung verbunden, dass etwas sehr schnell wachse. In Wirklichkeit beginnt exponentielles Wachstum normalerweise eher langsam, bevor es allmählich in das übergeht, was man als ‚rasantes Wachstum‘ bezeichnen könnte. Exponentielles Wachstum ist aber viel mehr als das." Geoffrey West: Mehr als rasantes Wachstum

"Wir sind süchtig nach der unbegrenzt wirksamen steroid-artigen Droge des exponentiellen Wachstums. Es ist ein echter Rausch, der auf den großen Erfolg unserer wirtschaftlichen Dynamik zurückzuführen ist." Geoffrey West: Mehr als rasantes Wachstum

 

changeX 17.04.2020. Alle Rechte vorbehalten, all rights reserved.

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Quellenangaben

Zum Buch

: Scale. Die universalen Gesetze des Lebens von Organismen, Städten und Unternehmen. C.H.Beck Verlag, München 2019, 478 Seiten, 28 Euro (D), ISBN 978-3-406-74191-3

Scale

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Autor

Geoffrey West
West

Geoffrey West ist ein Pionier auf dem Feld der Komplexitäts-forschung, der Wissenschaft von Systemen und Netzwerken. Er ist Autor des Buchs Scale, erschienen bei C.H.Beck 2019.

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